L’urne d’Ehrenfest, épisode 2

On reprend ici les notations et les résultats de l’épisode 1.
On note {U_{n}=\bigl(\mathbb{P}(X_{n}=0),\mathbb{P}(X_{n}=1),\ldots,\mathbb{P}(X_{n})=N\bigr)} la loi de {X_{n}}.

  1. Déterminer {A\in\mathcal{M}_{N+1}(\mathbb{R})} telle que: {\forall\, n\in\mathbb{N},\,U_{n+1}=AU_{n}}.
  2. Écrire une fonction Python/Numpy renvoyant la matrice {A\in\mathcal{M}_{N+1}(\mathbb{R})}.
  3. On se place dans {\mathbb{R}_{N}[X]}, muni de sa base canonique {1,X,\ldots,X^{N}}.
    Identifier l’endomorphisme {\varphi} de {\mathbb{R}_{N}[X]} de matrice {A} dans cette base.
  4. On note {t\mapsto G_{n}(t)} la fonction génératrice de {X_{n}}.
    Montrer {G_{n+1}=\varphi(G_{n})} et retrouver : {\text{E}(X_{n+1})=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})}.

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On rappelle que, pour tout {n\in\mathbb{N}} et tout {i\in[[0,N]]}:
{\mathbb{P}(X_{n+1}=i)=\Bigl(1-\dfrac{i-1}{N}\Bigr)\,\mathbb{P}(X_{n}=i-1)+\dfrac{i+1}{N}\,\mathbb{P}(X_{n}=i+1)}

  1. Soit {A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{N+1}(\mathbb{R})}{a_{i,j}=\mathbb{P}(X_{n+1}=i\mid X_{n}=j)}.

    Les coefficients de A sont donc donnés par :{\begin{cases}a_{j-1,j}=\dfrac{j}{N}&\text{si\ }0\le j\le N-1\\a_{j+1,j}=1-\dfrac{j}{N}&\text{\ si\ } 1\le j\le N\\a_{i,j}=0&\text{\ sinon\ }\end{cases}}

    Avec cette définition, on a : {U_{n+1}=AU_{n}}.

    NB: les indices de ligne et de colonne vont de {0} à {N}.

  2. Voici la fonction demandée:

    Voici la matrice A quand n=5 (elle est d’ordre {6}) :

  3. Pour {k\in[[ 0,N]]}, on a : {\begin{array}{rl}\varphi(X^{k})&=\dfrac{k}{N}X^{k-1}+\Bigl(1-\dfrac{k}{N}\Bigr)X^{k+1}\\\\&=X X^{k}-\dfrac{1}{N}(X^{2}-1)(X^{k})'\end{array}}Ainsi, par linéarité : {\forall\, Q\in\mathbb{R}_{N}[X],\;\varphi(Q)=X\,Q-\dfrac{1}{N}(X^{2}-1)Q'}.
  4. On écrit {G_{n}(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{N}\mathbb{P}(X_{n}=k)\,X^{k}}. C’est un élément de {\mathbb{R}_{N}[X]}.

    Dans {1,X,\ldots,X^{N}}, la colonne des coordonnées de {G_{n}} est {U}_{n}.

    La traduction vectorielle de {U_{n+1}=AU_{n}} est donc {G_{n+1}=\varphi(G_{n})}.

    Pour tout {n\in\mathbb{N}}, et pour tout {t\in\mathbb{R}}, on a: {G_{n+1}(t)=t\,G_{n}(t)+\dfrac{1}{N}(1-t^{2})G_{n}'(t)}Après dérivation, on en déduit:
    {\begin{array}{rl}G'_{n+1}(t)&=G_{n}(t)+t\,G'_{n}(t)-\dfrac{2}{N}t\,G_{n}'(t)+\dfrac{1}{N}(1-t^{2})G_{n}''(t)\\\\&=G_{n}(t)+t\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)G_{n}'(t)+\dfrac{1}{N}(1-t^{2})G_{n}''(t)\end{array}}On évalue en {t=1} et on obtient :
    \begin{array}{rl}\text{E}(X_{n+1})&=G'_{n+1}(1)=G_{n}(1)+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)G_{n}'(1)\\\\&=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)G_{n}'(1)=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})\end{array}