Matrices bistochastiques, épisode 6

Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4, Ep5.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}.
On sait que {A=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_{k}P_{k}} (avec {\alpha_k>0}, {\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_k=\mu}, les {P_k} matrices de permutations).
On va montrer que m peut être rendu inférieur ou égal à {(n\!-\!1)^2\!+\!1}.

Pour cela, on suppose {m>(n\!-\!1)^{2}\!+\!1}: l’objectif est de réduire le nombre de matrices {P_{k}} (tout en gardant les propriétés : les {\alpha_{k}>0} et de somme {\mu}).

  1. Montrer que les matrices 0-magiques forment un EV de dimension {(n-1)^{2}}.
  2. Montrer qu’il existe des \beta_{k} non tous nuls, tels que : {\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\beta_{k}P_{k}=0\quad\text{et}\quad\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\beta_{k}=0}Indication: considérer les matrices {P_{k}-P_{1}}, avec {2\le k\le m}.

  3. Justifier la possibilité de choisir {j\in\{1,\ldots,m\}} tel que : {\dfrac{\alpha_{j}}{\beta_{j}}=\min\biggl\{\dfrac{\alpha_{k}}{\beta_{k}},\;1\le k\le m,\;\beta_{k}>0\biggr\}}Quitte à tout renuméroter, on suppose {j=m}.
  4. Montrer que {A=\displaystyle\sum_{k=1}^{m-1}\delta_{k}P_{k}}, où {\delta_{k}=\alpha_{k}-\alpha_{m}\dfrac{\beta_{k}}{\beta_{m}}}.

    Indiquer le signe des {\delta_{k}}, et leur somme.

    Énoncer le résultat obtenu (en en donner la version bistochastique).

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